一元二次方程式

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觀念

目錄

屬性

  • 資源類別：觀念
  • 科目：數學
  • 主題：數與座標系
  • 次主題：一元二次方程式, 判別式
  • 摘要：一元二次方程式, 判別式
  • 適用年級：10-12
  • 日期：2008/09/22
  • 編輯者：User:HsiaoCH
  • 參考資料：高中新數學教室充實版(單元系列6)P.120
  • 相關技術：

觀念說明

公式解

  • 公式：ax^{2}+bx+c=0\,
    \Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
  • 公式導出：
    1. ax^{2}+bx+c=0\,
    2. \Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\Rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
    3. \Rightarrow x^{2}+2\times \left( \frac{b}{2a} \right)x+\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}=-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}
    4. \Rightarrow \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{-4ac+b^{2}}{\left( 2a \right)^{2}}
    5. \Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{\left( 2a \right)^{2}}}
    6. \Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
    7. \Rightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\#

判別式

  • x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\,
    • 令\left\{ \begin{align} & \alpha =\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & \beta =\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \end{align} \right. 則 \alpha ,\beta \, 為方程式之兩根
    1. 若 a,b,c\in R\,
      • 令 D=b^{2}-4ac\in R\, ，
      1. 當D>0\Rightarrow \sqrt{D}\in R,\sqrt{D}>0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \alpha ,\beta \in R \\ & \alpha \ne \beta \\ \end{align} \right.
      2. 當D=0\Rightarrow \sqrt{D}\in R,\sqrt{D}=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \alpha ,\beta \in R \\ & \alpha =\beta \\ \end{align} \right.
      3. 當D<0\Rightarrow \sqrt{D}\notin R,\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \alpha ,\beta \notin R \\ & \alpha \ne \beta \\ & \beta =\overline{\alpha } \\ \end{align} \right. 註：i\,的觀念
    2. 若 a,b,c\, 當中任一 \notin R\, ，則上述推論不成立
      • 例題 ：兩根皆非實數、相異，且互不為共軛


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主題 數與座標系  +
參考資料 高中新數學教室充實版(單元系列6)P.120  +
摘要 一元二次方程式  +, and 判別式  +
日期 2008年9月22日 (星期一)  +
次主題 一元二次方程式  +, and 判別式  +
科目 數學  +
編輯者 HsiaoCH  +
資源類別 觀念  +
適用年級 10-12  +
取自"http://www.come2pass.com/wiki/index.php/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F"