兩向量差的極值2008-10-14-1650

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觀念

屬性

  • 資源類別：觀念
  • 科目：數學
  • 主題：向量
  • 次主題：向量的加減
  • 摘要：兩向量差的極值
  • 適用年級：10-12
  • 日期：2008/10/14
  • 編輯者：User:YuLM
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基本觀念

Image:兩向量差的極值.png 兩向量差的極值(GeoGebra格式檔)

  1. \overrightarrow{a}=\left( a_{x},a_{y} \right)
  2. \overrightarrow{b}=\left( b_{x},b_{y} \right)
  3. f\left( t \right)=\left| \overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a} \right|
  4. \min f\left( t \right)=?
  5. 設 \overrightarrow{c}=\left( x,y \right) 且 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}
  6. \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a}\Rightarrow \left( x,y \right)=\left( b_{x}-ta_{x},b_{y}-ta_{y} \right)
  7. \left\{ \begin{align} & x=b_{x}-ta_{x} \\ & y=b_{y}-ta_{y} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a_{y}x=a_{y}b_{x}-ta_{x}a_{y} \\ & a_{x}y=a_{x}b_{y}-ta_{y}a_{x} \\ \end{align} \right.
  8. \Rightarrow a_{y}x-a_{x}y=a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}
  9. \Rightarrow a_{y}x-a_{x}y+\left( a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x} \right)=0 故 \overrightarrow{c} 之軌跡為一直線，最短之 \overrightarrow{c} 與其垂直，故
  10. \min f\left( t \right)=\frac{\left| a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x} \right|}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=\frac{\sqrt{\left| \overrightarrow{a} \right|^{2}\left| \overrightarrow{b} \right|^{2}-\left( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \right)^{2}}}{\left| \overrightarrow{a} \right|} 註：
    1. \left( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \right)^{2}=\left( a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y} \right)^{2}=a_{x}^{2}b_{x}^{2}+2a_{x}b_{x}a_{y}b_{y}+a_{y}^{2}b_{y}^{2}
    2. \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}\left| \overrightarrow{b} \right|^{2}=\left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2} \right)\left( b_{x}^{2}+b_{y}^{2} \right)
    3. =a_{x}^{2}b_{x}^{2}+a_{x}^{2}b_{y}^{2}+a_{y}^{2}b_{x}^{2}+a_{y}^{2}b_{y}^{2}
    4. \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}\left| \overrightarrow{b} \right|^{2}-\left( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \right)^{2}=a_{x}^{2}b_{y}^{2}+a_{y}^{2}b_{x}^{2}-2a_{x}b_{x}a_{y}b_{y}
    5. =\left( a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x} \right)^{2}

Facts about 兩向量差的極值2008-10-14-1650RDF feed
主題 向量  +
摘要 兩向量差的極值  +
日期 2008年10月14日 (星期二)  +
次主題 向量的加減  +
科目 數學  +
編輯者 YuLM  +
資源類別 觀念  +
適用年級 10-12  +
取自"http://www.come2pass.com/wiki/index.php/%E5%85%A9%E5%90%91%E9%87%8F%E5%B7%AE%E7%9A%84%E6%A5%B5%E5%80%BC2008-10-14-1650"