向量：三角形面積

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屬性

公式： $\Delta ABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left| \overrightarrow{AB} \right|^{2}\times \left| \overrightarrow{AC} \right|^{2}-\left( \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right)^{2}}$
公式證明：

$\Delta ABC=\frac{1}{2}\overline{AB}\times \overline{AC}\sin A$
$=\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{AB} \right|\times \left| \overrightarrow{AC} \right|\sin A=\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{AB} \right|\times \left| \overrightarrow{AC} \right|\sqrt{1-\cos ^{2}A}$
$=\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{AB} \right|\times \left| \overrightarrow{AC} \right|\sqrt{1-\left( \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\times \left| \overrightarrow{AC} \right|} \right)^{2}}$ 註：向量內積
$=\frac{1}{2}\sqrt{\left| \overrightarrow{AB} \right|^{2}\times \left| \overrightarrow{AC} \right|^{2}-\left( \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right)^{2}}\#$