座標軸之旋轉

From 高材生

Jump to: navigation, search

Contents

座標軸之旋轉

  1. 直角座標 x,y\, 軸旋轉角度 \theta\, 後，形成直角座標 X,Y\,
  2. 兩個座標之關係如下：
    • \begin{cases} {\color{OliveGreen}x} = {\color{Red}X} \cos \theta - {\color{Red}Y} \sin \theta \\ {\color{OliveGreen}y} = {\color{Red}X} \sin \theta + {\color{Red}Y} \cos \theta \end{cases}
  3. 現專就二次曲線之通式，來探討兩座標係數之關係
    • \begin{cases} a{\color{OliveGreen}x}^2 + b{\color{OliveGreen}xy} + c{\color{OliveGreen}y^2} + d{\color{OliveGreen}x} + e{\color{OliveGreen}y} + f = 0\ \\ A{\color{Red}X}^2 + B{\color{Red}XY} + C{\color{Red}Y}^2 + D{\color{Red}X} + E{\color{Red}Y} + F = 0 \end{cases}
  4. 將旋轉後座標關係代入原座標式，解 A,B,C\, (見詳解)，得


用座標軸之旋轉，將二次曲線方程式化為標準式

求 \theta\, 與 AC\,

  1. 倘若原座標之二次曲線 xy\, 項之係數 b\, 不為 0\,時，無法化為標準式，二次曲線圖形之軸線對 x,y\, 軸傾斜。
  2. 運用座標軸之適當旋轉，可以讓旋轉後之二次曲線的 XY\,項係數 B\, 化為 0\,。之後，即可用配方的方法，求得標準式。
  3. 令座標軸關係式 B^2 - 4AC = b^2 - 4ac\,，之 B=0\,

求 \theta\,

  1. (c - a)\sin 2\theta + b\cos 2\theta =0\,
  2. (a - c)\sin 2\theta = b\cos 2\theta \,
  3. \frac{{\sin 2\theta }}{{\cos 2\theta }} = \tan 2\theta = \frac{b}{{a - c}}
  4. \arctan (tan 2\theta) = \arctan \left( \frac{b}{{a - c}} \right )\,
  5. 2\theta = \arctan \frac{b}{{a - c}}\,
  6. \theta = \frac{{\arctan \frac{b}{{a - c}}}}{2}\,

求 AC\,

  1. 0 - 4AC = b^2 - 4ac\,
  2. AC = - \frac{{b^2 - 4ac}}{4}\,

配方 與 平移

配方

  1. AX^2 + BXY + CY^2 + DX + EY + F = 0\,
  2. \because B=0 \therefore AX^2 + CY^2 + DX + EY + F = 0\,，其中：
    • \begin{cases} A+C=a+c \\ AC= - \frac{{b^2 - 4ac}}{4} \end{cases}
  3. A \left (X + \frac{D}{{2A}} \right )^2 + C \left (Y + \frac{E}{{2C}} \right )^2 = K\,

平移

  1. 將 X,Y\, 座標原點平移至 \left (-\frac{D}{{2A}},-\frac{E}{{2C}} \right)\,，得
  2. AX'^2 + CY'^2 = K'\,

判別式

  • \frac{{b^2 - 4ac}}\,

當A\,與C\,同號(且皆不為0)

  • AC\,為正，即 \frac{{b^2 - 4ac}}\, 為負。

當K與A,C同號

  • 圖形為橢圓

當K與A,C不同號

  • 為無圖形

當K=0

  • 圖形為一點，即原點。

當AC異號(且皆不為0)

當K不是0

  • 圖形為雙曲線

當K=0

  • 圖形為兩相交直線

當A不為0，C為0

當E不為0

  • 圖形為拋物線

當E=0

  • 圖形為兩平形線

當C不為0，A為0

當E不為0

  • 圖形為拋物線

當E=0

  • 圖形為兩平形線
Retrieved from "http://www.come2pass.com/wiki/index.php/%E5%BA%A7%E6%A8%99%E8%BB%B8%E4%B9%8B%E6%97%8B%E8%BD%89"
Personal tools
課業
才藝