收歛級數2008-1027-1203

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目錄

屬性

  • 資源類別：題目
  • 科目：數學
  • 主題：數列與級數
  • 次主題：收歛級數, 無窮等比級數
  • 摘要：收歛級數：(x/2x-1)^n，求x範圍
  • 適用年級：10-12
  • 日期：2008/10/27
  • 編輯者：User:HsiaoCH
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  • 題目狀態：

已知

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{x}{2x-1} \right)}^{n} 為收歛級數
  2. \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{x}{2x-1} \right)}^{n} 收歛於 -\frac{1}{2x}

求解

  1. x\, 之範圍
  2. x\, 之值

答案

  1. \left\{ \begin{align} & x<\frac{1}{3},or \\ & x>1 \\ \end{align} \right.
  2. -1\,

詳解

1

  1. \because \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{x}{2x-1} \right)}^{n} 為收歛級數
  2. \therefore \left| \frac{x}{2x-1} \right|<1 註：絕對值不等式
  3. \Rightarrow \left( \frac{x}{2x-1} \right)^{2}<1
  4. \Rightarrow x^{2}<\left( 2x-1 \right)^{2}=4x^{2}-4x+1
  5. \Rightarrow 3x^{2}-4x+1>0
  6. \Rightarrow \left( 3x-1 \right)\left( x-1 \right)>0
  7. \therefore \left\{ \begin{align} & x<\frac{1}{3}\#,or \\ & x>1\# \\ \end{align} \right.

2

Image:解無窮級數函數(x除以(2x-1))^n，當x=-1時-圖二.png

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{x}{2x-1} \right)}^{n} 收歛於 -\frac{1}{2x}

  2. \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{x}{2x-1} \right)}^{n}=\frac{\frac{x}{2x-1}}{1-\frac{x}{2x-1}}=\frac{x}{x-1},x\ne \frac{1}{2} 註：分母不得為 0\,

  3. \therefore \frac{x}{x-1}=-\frac{1}{2x}\Rightarrow 2x^{2}=-x+1
  4. \Rightarrow 2x^{2}+x-1=0\Rightarrow \left( 2x-1 \right)\left( x+1 \right)=0
  5. \because x\ne \frac{1}{2}\therefore x=-1\#
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主題 數列與級數  +
摘要 收歛級數：(x/2x-1)^n，求x範圍  +
日期 2008年10月27日 (星期一)  +
次主題 收歛級數  +, and 無窮等比級數  +
科目 數學  +
編輯者 HsiaoCH  +
資源類別 題目  +
適用年級 10-12  +
取自"http://www.come2pass.com/wiki/index.php/%E6%94%B6%E6%AD%9B%E7%B4%9A%E6%95%B82008-1027-1203"