數列的極限

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觀念

目錄

屬性

  • 資源類別：觀念
  • 科目：數學
  • 主題：數列與級數
  • 次主題：數列的極限, 極限的運算
  • 摘要：數列的極限舉例、觀念導出, 極限的運算
  • 適用年級：10-12
  • 日期：2008/10/13
  • 編輯者：User:HsiaoCH
  • 參考資料：
  • 相關技術：

觀念

教師自創三個例子

已知

  1. 有一個數列 \left\langle a_{n} \right\rangle =\left\{ a_{n}|a_{n}=4+\frac{1}{n+5},n\in \mathbb{N} \right\}
  2. 任意給定一個數值 \varepsilon\,

求解

  1. 是否存在任一個 n_{0}\, 使得：當n>n_{0}\, 時， 則 \left| a_{n}-4 \right|<\varepsilon 恒成立

詳解

1

  • 設 \varepsilon =0.1\,
  1. 令 \alpha=4\,
  2. \left| \left( 4+\frac{1}{n+5} \right)-4 \right|<0.1\Rightarrow \left| \frac{1}{n+5} \right|<0.1 ，因為n\,為自然數必大於0\, 故：
  3. \Rightarrow \frac{1}{n+5}<0.1\Rightarrow 1<0.1\left( n+5 \right)
  4. \Rightarrow 10<n+5\Rightarrow n>5\#
  5. 故取 n_{0}=5\, ，則當n>n_{0}\, 時， \left| a_{n}-4 \right|<\varepsilon 恒成立

2

  • 設 \varepsilon =0.01\,
  1. 令 \alpha=4\,
  2. \left| \left( 4+\frac{1}{n+5} \right)-4 \right|<0.01\Rightarrow \left| \frac{1}{n+5} \right|<0.01 ，因為n\,為自然數必大於0\, 故：
  3. \Rightarrow \frac{1}{n+5}<0.01\Rightarrow 1<0.01\left( n+5 \right)
  4. \Rightarrow 100<n+5\Rightarrow n>95\#
  5. 故取 n_{0}=95\, ，則當n>n_{0}\, 時， \left| a_{n}-4 \right|<\varepsilon 恒成立

3

  • 比照上述二例推論，可知對於任意給定之 \varepsilon 可令：
  1. \alpha=4\,
  2. \left| \left( 4+\frac{1}{n+5} \right)-4 \right|<\varepsilon \Rightarrow \left| \frac{1}{n+5} \right|<\varepsilon
  3. \Rightarrow \frac{1}{n+5}<\varepsilon \Rightarrow 1<\varepsilon \left( n+5 \right)
  4. \Rightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n+5\Rightarrow n>\frac{1}{\varepsilon }-5
  5. 故取 n_{0}=\frac{1}{\varepsilon }-5 ，則當n>n_{0}\, 時， \left| a_{n}-4 \right|<\varepsilon 恒成立

引導學生猜測可能的通則(觀念)

引導學生嘗試證明通則(觀念)

學生將通則(觀念)試用到其他例子(課本範例、類題、試題...)

學生參考課文嚴謹闡述通則(觀念)

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主題 數列與級數  +
摘要 數列的極限舉例、觀念導出  +, and 極限的運算  +
日期 2008年10月13日 (星期一)  +
次主題 數列的極限  +, and 極限的運算  +
科目 數學  +
編輯者 HsiaoCH  +
資源類別 觀念  +
適用年級 10-12  +
取自"http://www.come2pass.com/wiki/index.php/%E6%95%B8%E5%88%97%E7%9A%84%E6%A5%B5%E9%99%90"