數列與級數/5 無窮等比級數-範例

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範例12

  • 下列那些式子是正確的？
    • \left( A \right)1-1+1-1+\cdots +\left( -1 \right)^{n-1}+\cdots =0
    • \left( B \right)1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\cdots +\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1}+\cdots =\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}
    • \left( C \right)1-2+4-8+\cdots +\left( -2 \right)^{n-1}+\cdots =\frac{1}{1-\left( -2 \right)}
    • \left( D \right)2.\overline{9}<3
    • \left( E \right)1+2+4+\cdots +2^{30}+\left( \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2} \right)^{2}+\cdots +\left( \frac{1}{2} \right)^{n}+\cdots 是收斂的

答案

  • \left( B \right)\left( E \right)\,

詳解

  1. \left( A \right)1-1+1-1+\cdots +\left( -1 \right)^{n-1}+\cdots \Rightarrow r=-1 ，可知無窮級數之公比的絕對值不小於1，因此為發散的無窮級數，其和不存在。
  2. \left( B \right)1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\cdots +\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1}+\cdots \Rightarrow \left\{ \begin{align} & r=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ & a_{1}=1 \\ \end{align} \right.
    \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1}}=\frac{a_{1}}{1-r}=\frac{1}{1-\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}\#
  3. \left( C \right)1-2+4-8+\cdots +\left( -2 \right)^{n-1}+\cdots \Rightarrow r=-2 ，可知無窮級數之公比的絕對值不小於1，因此為發散的無窮級數，其和不存在。
  4. \left( D \right)2.\overline{9}\Rightarrow 2+\frac{0.9}{1-0.1}=2+\frac{0.9}{0.9}=2+1=3 ，是等於3；而不是小於3
  5. \left( E \right)\,先分為兩個級數求解：
    1. 第一個級數為有限級數，1+2+4+\cdots +2^{30}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a_{1}=1=2^{0} \\ & r=2 \\ & n=31 \\ \end{align} \right.
      \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{31}{2^{k-1}}=\frac{a_{1}\left( 1-r^{n+1} \right)}{1-r}=\frac{1\left( 1-2^{31} \right)}{1-2}=\frac{1-2^{31}}{-1}=-1+2^{31}
    2. 第二個級數為收斂的無窮級數，\left( \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2} \right)^{2}+\cdots +\left( \frac{1}{2} \right)^{n}+\cdots \Rightarrow \left\{ \begin{align} & b_{1}=\frac{1}{2} \\ & r=\frac{1}{2} \\ & n\to \infty \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{1}{2} \right)^{n}}=\frac{b_{1}}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1
    3. 再綜合兩個級數，
      \left\{ \begin{align} & 1+2+4+\cdots +2^{30}=-1+2^{31} \\ & \left( \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2} \right)^{2}+\cdots +\left( \frac{1}{2} \right)^{n}+\cdots =1 \\ \end{align} \right.
      \Rightarrow 1+2+4+\cdots +2^{30}+\left( \frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2} \right)^{2}+\cdots +\left( \frac{1}{2} \right)^{n}+\cdots =2^{31}\#

範例12類題1

已知

求解

答案

詳解

範例12類題2

已知

求解

答案

詳解

範例13

範例13類題1

已知

求解

答案

詳解

範例13類題2

已知

求解

答案

詳解


範例14

  • 已知：\left\{ \begin{align} & S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}+\cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{3^{n-1}}} \\ & S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots +\frac{1}{3^{k-1}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{3^{k-1}}} \\ \end{align} \right.
  • 求解
    1. S_{n}\,
    2. S\,
    3. 若\left| S-S_{n} \right|<\frac{1}{1000} ，則 n\, 之最小值為多少

答案

  1. S_{n}=\frac{3}{2}\times \left( 1-\frac{1}{3^{n}} \right)
  2. S=\frac{3}{2}
  3. n\ge 7

詳解

  1. S_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots +\frac{1}{3^{k-1}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{3^{k-1}}}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a_{1}=1 \\ & r=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.
    \Rightarrow S_{n}=\frac{a_{1}\times \left( 1-r^{n} \right)}{1-r}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{3^{n}}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\times \left( 1-\frac{1}{3^{n}} \right)\#
  2. S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}+\cdots =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{3^{n-1}}}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a_{1}=1 \\ & r=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.
    \Rightarrow S=\frac{a_{1}}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\#
  3. \left| S-S_{n} \right|<\frac{1}{1000}\Rightarrow \left| \frac{3}{2}\times \left( 1-\frac{1}{3^{n}} \right)-\frac{3}{2} \right|<\frac{1}{1000}
    \Rightarrow \frac{3}{2}\times \frac{1}{3^{n}}<\frac{1}{1000}\Rightarrow \frac{1}{3^{n}}<\frac{1}{1000}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{1500}
    \Rightarrow 3^{n}>1500\Rightarrow n\ge 7\#
  • 附註：\left\{ \begin{align} & 3^{6}=729 \\ & 3^{7}=2187 \\ \end{align} \right.

範例14類題1

已知

求解

答案

詳解

範例14類題2

已知

求解

答案

詳解

範例14類題3

已知

求解

答案

詳解

取自"http://www.come2pass.com/wiki/index.php/%E6%95%B8%E5%88%97%E8%88%87%E7%B4%9A%E6%95%B8/5_%E7%84%A1%E7%AA%AE%E7%AD%89%E6%AF%94%E7%B4%9A%E6%95%B8-%E7%AF%84%E4%BE%8B"