數列與級數/6 數學歸納法原理-範例

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範例15

已知： $\left\{ \begin{align} & n,p\in N \\ & f(n)=7^{n}+5\times 4^{n} \\ & R_{p}\left[ f(n) \right]=0,\forall n\in N \\ \end{align} \right.$ ，求解： $p\,$ 之最大值

$f(n)=7^{n}+5\times 4^{n}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)=7^{1}+5\times 4^{1}=7+20=27=3\times 9 \\ & f\left( 2 \right)=7^{2}+5\times 4^{2}=49+80=129=3\times 43 \\ \end{align} \right.$
$f(k+1)-f(k)=\left( 7^{k+1}+5\times 4^{k+1} \right)-\left( 7^{k}+5\times 4^{k} \right)=\left( 7^{k}\times 7-7^{k} \right)+\left( 5\times 4^{k}\times 4-5\times 4^{k}\times 4 \right)$
$=7^{k}\left( 7-1 \right)+5\times 4^{k}\times \left( 4-1 \right)=7^{k}\times 6-5\times 4^{k}\times 3=3\times \left( 7^{k}\times 2-5\times 4^{k} \right)$
設 $R_{3}\left[ f(n) \right]=0$ ，即 $f(k)=7^{k}+5\times 4^{k}=3p_{1},p_{1}\in N$
$f(k+1)-f(k)=f(k+1)-3p_{1}=3\times \left( 7^{k}\times 2-5\times 4^{k} \right)$
$\Rightarrow f(k+1)=3\times \left( 7^{k}\times 2-5\times 4^{k} \right)+3p_{1}=3\times \left( 7^{k}\times 2-5\times 4^{k}+p_{1} \right)$ ，因此 $R_{3}\left[ f(k+1) \right]=0$ ，故得證 $R_{3}\left[ f(n) \right]=0,\forall n\in N$
$\left\{ \begin{align} & R_{p}\left[ f(n) \right]=0,\forall n\in N \\ & R_{3}\left[ f(n) \right]=0,\forall n\in N \\ & \operatorname{g}.c.d\left( f\left( 1 \right),f\left( 2 \right) \right)=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \max \left( p \right)=3\#$