數學歸納法200811101029

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屬性

利用數學歸納法證明： $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{n\times \left( n+1 \right)}=\frac{n}{n+1}$ ，對所有的自然數 $n\,$ 都成立。

當時，
- 左式等於右式，成立。
設 $n=k\,$ 時，
$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{k\times \left( k+1 \right)}=\frac{k}{k+1}$ ，成立。
當時：
- 左式：
  1. $\underbrace{\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{k\times \left( k+1 \right)}}_{\frac{k}{k+1}}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\times \left( k+2 \right)}$
  2. $=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left( k+1 \right)\times \left( k+2 \right)}=\frac{k\left( k+2 \right)+1}{\left( k+1 \right)\times \left( k+2 \right)}$
  3. $=\frac{k^{2}+2k+1}{\left( k+1 \right)\times \left( k+2 \right)}=\frac{\left( k+1 \right)^{2}}{\left( k+1 \right)\times \left( k+2 \right)}=\frac{k+1}{k+2}$
- 右式：
  1. $\frac{n}{n+1}=\frac{\left( k+1 \right)}{\left( k+1 \right)+1}=\frac{k+1}{k+2}$
- 左式等於右式，原式成立。
故由數學歸納法得知：
$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{n\times \left( n+1 \right)}=\frac{n}{n+1}$ ，對所有的自然數 $n\,$ 都成立。