數學白板/YuLM/2008-09-22-0901

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屬性

$\sin ^{2}10^{\circ }+\cos ^{2}40^{\circ }+\sin 10^{\circ }\cos 40^{\circ }$
$=\sin ^{2}10^{\circ }+\sin ^{2}50^{\circ }+\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }$ 註： $\sin \left( 90^{\circ }-\theta \right)=\cos \theta$
$=\left( \sin 10^{\circ }+\sin 50^{\circ } \right)^{2}-\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }$
$=\left( 2\sin \frac{10^{\circ }+50^{\circ }}{2}\cos \frac{10^{\circ }-50^{\circ }}{2} \right)^{2}-\frac{2\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }}{2}$
註： $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left( \frac{\alpha +\beta }{2} \right)\cos \left( \frac{\alpha -\beta }{2} \right)$
$=\left( 2\sin 30^{\circ }\cos \frac{-40^{\circ }}{2} \right)^{2}+\frac{\cos \left( 10^{\circ }+50^{\circ } \right)-\cos \left( 10^{\circ }-50^{\circ } \right)}{2}$
註： $2\sin \alpha \sin \beta =\cos \left( \alpha -\beta \right)-\cos \left( \alpha +\beta \right)$
$=\cos ^{2}\frac{40^{\circ }}{2}-\frac{\frac{1}{2}-\cos \left( -40^{\circ } \right)}{2}=\frac{\cos 40^{\circ }+1}{2}+\frac{\frac{1}{2}-\cos 40^{\circ }}{2}$
$\cos ^{2}\frac{\theta }{2}=\frac{\cos \theta +1}{2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\#$