數學白板/YuLM/2008-09-24-6

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屬性

$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}$
$\overline{AE},\overline{AC}$ 交於 $P\,$ 點
若 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$

已知： $\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}$
在 $\Delta OBC\,$ 中，
$\overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OC}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}=\frac{3n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}=\left( \frac{3n}{m+n} \right)\overrightarrow{OA}+\left( \frac{m}{m+n} \right)\overrightarrow{OB}$
在 $\Delta OAE\,$ 中，
$\overrightarrow{OP}=\frac{s\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{OE}}{r+s}=\frac{s\overrightarrow{OA}+2r\overrightarrow{OB}}{r+s}=\left( \frac{s}{r+s} \right)\overrightarrow{OA}+\left( \frac{2r}{r+s} \right)\overrightarrow{OB}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{3n}{m+n}=\frac{s}{r+s} \\ & \frac{m}{m+n}=\frac{2r}{r+s} \\ \end{align} \right.$
令 $m+n=r+s\,$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & s=3n \\ & r=\frac{m}{2} \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow \frac{3n}{m+n}=\frac{3n}{3n+\frac{m}{2}}$
$\Rightarrow m+n=3n+\frac{m}{2}$
$\Rightarrow 2m+2n=6n+m$
$\Rightarrow m=4n\Rightarrow m:n=4:1$
在 $\Delta OBC\,$ 中， $\because \overline{PC}:\overline{BP}=4:1$
$\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OB}}{1+4}=\frac{3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}}{2+3}$
$=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$
$\left( x,y \right)=\left( \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right)\#$

在 $\Delta OBC\,$ 中，
$\overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OC}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}=\frac{3n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}=\left( \frac{3n}{m+n} \right)\overrightarrow{OA}+\left( \frac{m}{m+n} \right)\overrightarrow{OB}$
$=\left( \frac{3}{h+1} \right)\overrightarrow{OA}+\left( \frac{h}{h+1} \right)\overrightarrow{OB}$ 註：同除 $n\,$ ，得 $h=\frac{m}{n}\,$
在 $\Delta OAE\,$ 中，
$\overrightarrow{OP}=\frac{s\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{OE}}{r+s}=\frac{s\overrightarrow{OA}+2r\overrightarrow{OB}}{r+s}=\left( \frac{s}{r+s} \right)\overrightarrow{OA}+\left( \frac{2r}{r+s} \right)\overrightarrow{OB}$
$=\left( \frac{1}{k+1} \right)\overrightarrow{OA}+\left( \frac{2k}{k+1} \right)\overrightarrow{OB}$ 註：同除 $s\,$ ，得 $k=\frac{r}{s}\,$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{3}{h+1}=\frac{1}{k+1} \\ & \frac{h}{h+1}=\frac{2k}{k+1} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 3k+3=h+1 \\ & hk+h=2hk+2k \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 3k-h+2=0 \\ & hk+2k-h=0 \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow \left( 2+3k \right)k+2k-\left( 2+3k \right)=0$
$\Rightarrow 3k^{2}+k-2=0\Rightarrow \left( 3k-2 \right)\left( k+1 \right)=0$
$\therefore k=\frac{2}{3},h=4$
$\Rightarrow \frac{r}{s}=\frac{2}{3},\frac{m}{n}=4$