歌西不等式

出自高材生

屬性

資源類別：觀念
科目：數學
主題：向量
次主題：歌西不等式, 科西不等式
摘要：歌西不等式
適用年級：10-12
日期：2008/10/10
編輯者：User:YuLM
參考資料：
相關技術：

公式與導出

公式一： $\left| \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \right|\le \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|$
公式一導出：
1. $\left| \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \right|=\left| \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \theta \right|=\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\left| \cos \theta \right|$
2. $\because \left| \cos \theta \right|\le 1\therefore \left| \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \right|\le \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\#$ 註：內積
公式二： $\left\{ \begin{align} & a_{x},a_{y},b_{x},b_{y}\in \mathbb{R} \\ & \left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2} \right)\left( b_{x}^{2}+b_{y}^{2} \right)\ge \left( a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y} \right)^{2} \\ \end{align} \right.$
公式二導出：
1. 設則
  1. $\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \theta \le \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|$
  2. 又， $\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \theta =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$ 註：內積
  3. $\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}\times \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}$ 註：向量長度
2. 故， $a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}\le \sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}\times \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}$
3. $\Rightarrow \left( a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y} \right)^{2}\le \left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2} \right)\left( b_{x}^{2}+b_{y}^{2} \right)\#$
公式二之等式成立條件：

$\left( a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y} \right)^{2}=\left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2} \right)\left( b_{x}^{2}+b_{y}^{2} \right)\Leftrightarrow \frac{a_{y}}{a_{x}}=\frac{b_{y}}{b_{x}}\#$

頁面連結	主題	次主題	摘要	日期	適用年級
歌西不等式	向量	歌西不等式科西不等式	歌西不等式	2008年10月10日 (星期五)	10-12

例題

頁面連結	主題	次主題	摘要	日期	適用年級
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日期	2008年10月10日 (星期五) +

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科目	數學 +

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