無窮等比級數

屬性

無窮等比級數當公比大於或等於 $1\,$ 時，為發散級數，無法求和。
無窮等比級數當公比小於 $1\,$ 時，為收歛級數，其收歛值為：
公式： $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,S_{n}=\frac{a}{1-r}$
公式導出：
1. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,S_{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{a\left( 1-r^{n} \right)}{1-r} \right]$ 註： $S_{n}=\frac{a\left( 1-r^{n} \right)}{1-r}$
2. $=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{a}{1-r}-\frac{ar^{n}}{1-r} \right)$
3. $=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{1-r}-\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ar^{n}}{1-r}$
4. $=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{1-r}-0$ 註： $r<1\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,r^{n}=0$
5. $=\frac{a}{1-r}\#$

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