級數,無窮等比級數200810271642

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屬性

資源類別：題目
科目：數學
主題：數列與級數
次主題：級數, 無窮等比級數
摘要：1/7+3/7^2+5/7^3+...+2n-1/7^n+...
適用年級：10-12
日期：2008/10/27
編輯者：User:HsiaoCH
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求解

$\frac{1}{7}+\frac{3}{7^{2}}+\frac{5}{7^{3}}+\cdots +\frac{2n-1}{7^{n}}+\cdots$

答案

$\frac{2}{9}$

詳解

$\begin{align} & \frac{1}{7}+\frac{3}{7^{2}}+\frac{5}{7^{3}}+\cdots +\frac{2n-1}{7^{n}}+\cdots \\ & S=\frac{1}{7}+\frac{3}{7^{2}}+\frac{5}{7^{3}}+\cdots +\frac{2n-1}{7^{n}}+\frac{2\left( n+1 \right)-1}{7^{n+1}}\cdots \\ & \frac{1}{7}S=\frac{1}{7^{2}}+\frac{3}{7^{3}}+\frac{5}{7^{4}}+\cdots +\frac{2n-1}{7^{n+1}}+\cdots \\ & S-\frac{1}{7}S=\frac{1}{7}+\frac{2}{7^{2}}+\frac{2}{7^{3}}+\cdots +\frac{2}{7^{n+1}}+\cdots \\ & \frac{\left[ 2\left( n+1 \right)-1 \right]-\left( 2n-1 \right)}{7^{n+1}}=\frac{2}{7^{n+1}} \\ & =\frac{1}{7}+2\left( \frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{7^{3}}+\cdots +\frac{1}{7^{n+1}}+\cdots \right) \\ & =\frac{1}{7}+2\left( \frac{\frac{1}{7^{2}}}{1-\frac{1}{7}} \right)=\frac{4}{21} \\ & \Rightarrow \frac{6}{7}S=\frac{4}{21}\Rightarrow S=\frac{2}{9}\# \\ \end{align}$

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主題	數列與級數 +

摘要	1/7+3/7^2+5/7^3+...+2n-1/7^n+... +

日期	2008年10月27日 (星期一) +

次主題	級數 +, and 無窮等比級數 +

科目	數學 +

編輯者	HsiaoCH +

資源類別	題目 +

適用年級	10-12 +