複數

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觀念

目錄

屬性

  • 資源類別：觀念
  • 科目：數學
  • 主題：數與座標系
  • 次主題：複數
  • 摘要：複數
  • 適用年級：10-12
  • 日期：2008/12/26
  • 編輯者：User:HsiaoCH
  • 參考資料：高中新數學教室充實版(單元系列6)P.3;P.14
  • 相關技術：Mathtype

i\,的觀念

  • \left\{ \begin{align} & ax^{2}+bx+c=0 \\ & a,b,c\in R \\ & D=b^{2}-4ac \\ \end{align} \right.
    1. 當 \sqrt{D}<0\, 時， x\, 無實數解
    2. 但 x\, 仍然有解！稱為【虛數】解
    3. 於是數學創造 i\, 的虛數觀念，用來討論 x\, 的虛數解
  • 虛數單位規定：
    1. \left( \sqrt{-1} \right)^{2}=-1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & i=\sqrt{-1} \\ & i^{2}=-1 \\ \end{align} \right.
    2. b>0\Rightarrow \sqrt{-b}=\sqrt{b}i
  • i\,乘冪的週期性：

\begin{align} & i^{1}=i, \\ & i^{2}=-1, \\ & i^{3}=i^{2}\cdot i\Rightarrow -1\cdot i=-i, \\ & i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}\Rightarrow -1\cdot -1=1 \\ & i^{5}=i^{4}\cdot i=i \\ & i^{6}=i^{4}\cdot i^{2}=1\cdot -1=-1 \\ & i^{7}=i^{4}\cdot i^{3}=1\cdot -i=-i \\ & i^{8}=i^{4}\cdot i^{3}=1\cdot 1=1 \\ & \Rightarrow i^{4m+k}=i^{k}=\left\{ \begin{align} & i,k=1 \\ & -1,k=2 \\ & -i,k=3 \\ & 1,k=1 \\ \end{align} \right. \\ \end{align}

複數的形式：

  • a,b\in R ， a+bi\, 叫做複數，其中 a\, 稱為實部， b\, 稱為虛部
    1. 當a=0,b\ne 0\Rightarrow a+bi=bi ， bi\, 稱為純虛數
    2. 當a\ne 0,b=0\Rightarrow a+bi=a ， a\, 為實數
    3. 當a\ne 0,b\ne 0\Rightarrow a+bi=a+bi ， a+bi\, 稱為虛數

複數的性質：

  1. 相等性質：a,b,c,d\in \mathbb{R}\Rightarrow \left( a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=c \\ & b=d \\ \end{align} \right. \right)
  2. 相乘性質：
    • a,b\in \mathbb{R}
    1. a<0,b<0\Rightarrow \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{-\left| a \right|}\times \sqrt{-\left| b \right|}=\sqrt{\left| a \right|}i\times \sqrt{\left| b \right|}i
      =\sqrt{\left| a \right|}\sqrt{\left| b \right|}i^{2}=-\sqrt{\left| a \right|\times \left| b \right|}=-\sqrt{\left| ab \right|}=-\sqrt{ab}\#
      • 舉例：a=-2,b=-3\Rightarrow \sqrt{-2}\sqrt{-3}=-\sqrt{\left( -2 \right)\times \left( -3 \right)}
    2. \left\{ \begin{align} & a>0,b>0 \\ & a>0,b<0 \\ & a<0,b>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\#
      • 舉例：a=2,b=-3\Rightarrow \sqrt{2}\sqrt{-3}=\sqrt{\left( 2 \right)\times \left( -3 \right)}
  3. 相除性質：
    • a,b\in \mathbb{R}
    1. a>0,b<0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{\left| b \right|}i}=\frac{\sqrt{a}\times i}{\sqrt{\left| b \right|}i\times i}=-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{\left| b \right|}}i \\ & -\sqrt{\frac{a}{b}}=-\sqrt{-\frac{a}{\left| b \right|}}=-\sqrt{\frac{a}{\left| b \right|}}i=-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{\left| b \right|}}i \\ \end{align} \right.
      \therefore \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\frac{a}{b}}\#
    2. a<0,b<0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{-\left| a \right|}}{\sqrt{-\left| b \right|}}=\frac{\sqrt{\left| a \right|}i}{\sqrt{\left| b \right|}i}=\frac{\sqrt{\left| a \right|}}{\sqrt{\left| b \right|}} \\ & \sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{-\left| a \right|}{-\left| b \right|}}=\sqrt{\frac{\left| a \right|}{\left| b \right|}}=\frac{\sqrt{\left| a \right|}}{\sqrt{\left| b \right|}} \\ \end{align} \right.
      \therefore \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\#

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編輯者 HsiaoCH  +
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