隸美弗定理

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觀念

目錄

屬性

  • 資源類別：觀念
  • 科目：數學
  • 主題：三角函數
  • 次主題：隸美弗定理, 棣美弗定理, 極式的乘除, 極式的旋轉, 1的n次方根, a+bi的n次方根, 複數
  • 摘要：隸美弗定理, 棣美弗定理, 極式的旋轉, 極式的乘除, 1的n次方根, a+bi的n次方根
  • 適用年級：10-12
  • 日期：2008/09/19
  • 編輯者：User:YuLM
  • 參考資料：
  • 相關技術：

絕對值

距離

面積

極式的乘除

(含共軛複數之相乘，及極式之乘除以直角座標模擬.ggb)

冪次

n次方

n次方(共軛)

  • 公式：\left( \cos \theta -i\sin \theta \right)^{n}=\cos n\theta -i\sin n\theta
  • 公式導出
    1. \left[ \cos \theta -i\sin \theta \right]^{n}=\left[ \cos \theta +i\sin \left( -\theta \right) \right]^{n}=\cos n\theta +i\sin n\left( -\theta \right) 註：運用公式 \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta
    2. =\cos n\theta +i\sin \left( -n\theta \right)=\cos n\theta -i\sin n\theta \# 註：\sin \left( -\theta \right)=-\sin \theta

負n次方

  • 公式：\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)^{-n}=\cos \left( -n\theta \right)+i\sin \left( -n\theta \right)
  • 公式導出：
    • 設 z=r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)
    1. 則 \frac{1}{z}=\frac{1}{r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)}=\frac{r\left( \cos \theta -i\sin \theta \right)}{r^{2}}=\frac{\cos \theta -i\sin \theta }{r}
    2. \Rightarrow \left( \frac{1}{z} \right)^{n}=\left( \frac{\cos \theta -i\sin \theta }{r} \right)^{n}=\frac{\left( \cos \theta -i\sin \theta \right)^{n}}{r^{n}}=r^{-n}\left( \cos \theta -i\sin \theta \right)^{n}
    3. =r^{-n}\left( \cos n\theta -i\sin n\theta \right)=r^{-n}\left[ \cos \left( -n\theta \right)+i\sin \left( -n\theta \right) \right]
    4. \left( \frac{1}{z} \right)^{n}=\left[ \frac{1}{r\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)} \right]^{n}=r^{-n}\left( \cos \theta +i\sin \theta \right)^{-n}
    5. \therefore \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)^{-n}=\cos \left( -n\theta \right)+i\sin \left( -n\theta \right)\#

當 |z|=1 時：

旋轉

1的n次方根

Image:1的n次方根.png GeoGebra格式檔

  • 探討 x^{n}=1\, 之n\, 個根及其性質
    1. 設 x\, 的 n\, 個根集合為 \left\{ \omega _{0},\omega _{1},\omega _{2}\cdots \omega _{n-1} \right\}
    2. \omega _{k-1}=\cos \left( \left( k-1 \right)\times \frac{2\pi }{n} \right)+i\sin \left( \left( k-1 \right)\times \frac{2\pi }{n} \right),k\in N,1\le k\le n
      1. \omega _{0}=\cos 0+i\sin 0=1\,
      2. \omega _{1}=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}
      3. \omega _{2}=\cos \left( 2\times \frac{2\pi }{n} \right)+i\sin \left( 2\times \frac{2\pi }{n} \right)
      4. \cdots
      5. \omega _{n-1}=\cos \left( \left( n-1 \right)\times \frac{2\pi }{n} \right)+i\sin \left( \left( n-1 \right)\times \frac{2\pi }{n} \right)
    3. \omega _{1}\, 與其他根之關係
      1. \omega _{1}^{2}=\omega _{1}\omega _{1}=\cos \left( 2\times \frac{2\pi }{n} \right)+i\sin \left( 2\times \frac{2\pi }{n} \right) 註：極式乘法之n\,次方
      2. \omega _{2}=\cos \left( 2\times \frac{2\pi }{n} \right)+i\sin \left( 2\times \frac{2\pi }{n} \right)
      3. \therefore \omega _{1}^{2}=\omega _{2} ，同理
      4. \omega _{1}^{3}=\omega _{3},\cdots ,\omega _{1}^{n-1}=\omega _{n-1}
      5. \omega _{1}^{n}=1=\omega _{0}
    4. \omega\, 之循環性質
      1. \omega _{1}^{n}=1=\omega _{0}
      2. \omega _{1}^{n+1}=\omega _{1}^{n}\omega _{1}=\omega _{1}
      3. \omega _{1}^{n+2}=\omega _{1}^{n}\omega _{1}^{2}=\omega _{1}^{2}=\omega _{2}
      4. \cdots
      5. \omega _{1}^{2n}=1=\omega _{0}
      6. \omega _{1}^{2n+1}=\omega _{1}^{2n}\omega _{1}=\omega _{1}
      7. \cdots

a+bi的n次方根

臨時提示：

  1. 當知道x^{n}=a+bi\,時，
  2. 反推其各根\left( \omega \right)\,的位置
  3. 各根\left( \theta \right)的角度位置可參考：\left( \frac{k\times 2\pi }{n}+\frac{\theta }{n} \right) 各根之 k=0,1,2,\cdots ,n-1
  1. \left( \omega \right)^{n}=a+bi

臨時例題(搭配ggb圖)：

Image:a+bi的n次方根.png GeoGebra格式檔

  • 已知：\left\{ \begin{align} & x^{5}=-2+2\sqrt{3}i \\ & x=\omega _{0},\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4} \\ \end{align} \right.
    1. \left( \omega \right)^{5}=-2+2\sqrt{3}i
    2. \tan \theta =\frac{2\sqrt{3}}{-2}=-\sqrt{3}\Rightarrow \theta =120^{\circ }
    3. \omega _{0}\, 的位置在\left( \frac{0\times 2\pi }{5}+\frac{\theta }{5} \right) 的角度，且 \left( \omega _{0} \right)^{5}=-2+2\sqrt{3}i
    4. \omega _{1}\, 的位置在\left( \frac{1\times 2\pi }{5}+\frac{\theta }{5} \right) 的角度，且 \left( \omega _{1} \right)^{5}=-2+2\sqrt{3}i
    5. \omega _{2}\, 的位置在\left( \frac{2\times 2\pi }{5}+\frac{\theta }{5} \right) 的角度，且 \left( \omega _{2} \right)^{5}=-2+2\sqrt{3}i
    6. \omega _{3}\, 的位置在\left( \frac{3\times 2\pi }{5}+\frac{\theta }{5} \right) 的角度，且 \left( \omega _{3} \right)^{5}=-2+2\sqrt{3}i
    7. \omega _{4}\, 的位置在\left( \frac{4\times 2\pi }{5}+\frac{\theta }{5} \right) 的角度，且 \left( \omega _{4} \right)^{5}=-2+2\sqrt{3}i
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主題 三角函數  +
摘要 隸美弗定理  +, 棣美弗定理  +, 極式的旋轉  +, 極式的乘除  +, 1的n次方根  +, and a+bi的n次方根  +
日期 2008年9月19日 (星期五)  +
次主題 隸美弗定理  +, 棣美弗定理  +, 極式的乘除  +, 極式的旋轉  +, 1的n次方根  +, a+bi的n次方根  +, and 複數  +
科目 數學  +
編輯者 YuLM  +
資源類別 觀念  +
適用年級 10-12  +
取自"http://www.come2pass.com/wiki/index.php/%E9%9A%B8%E7%BE%8E%E5%BC%97%E5%AE%9A%E7%90%86"