餘弦定理

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屬性

$\begin{align} & a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A \\ & b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos B \\ & c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C \\ \end{align}$

$\Delta ABC\,$
$a=b\cos C+c\cos B\,$ 註：射影定理(投影定理)
$b=a\cos C+c\cos A\,$
$c=b\cos A+a\cos B\,$
$a=b\cos C+c\cos B\Rightarrow a^{2}=ab\cos C+ac\cos B$ 註：兩邊同乘 $a\,$
$b=a\cos C+c\cos A\Rightarrow b^{2}=ab\cos C+bc\cos A$ 註：同理
$c=b\cos A+a\cos B\Rightarrow c^{2}=bc\cos A+ac\cos B$ 註：同理
$a^{2}-b^{2}-c^{2}\,$ 註：以上三式相減
$=\left( ab\cos C+ac\cos B \right)-\left( ab\cos C+bc\cos A \right)-\left( bc\cos A+ac\cos B \right)$
$=-2bc\cos A\,$
$\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\#$ 同理可證另二式