點與直線之距離

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平面上一個點 P\left( a,b \right)\, 與直線 L_{1}:rx+sy+t=0\, 之距離公式推導如下：

  1. 先求過點 P\left( a,b \right)\, 而垂直於直線 L_{1}\, 之直線L_{2}\, 之方程式
    1. 由直線 L_{1}\, 之方程式知其斜率為 m_{1}=-\frac{r}{s}\,
    2. 則與直線L_{1}\, 垂直之直線的斜率必為 m_{2}=\frac{s}{r}\,
    3. 過點 P\left( a,b \right)\, 斜率為 m_{2}\, 之直線 L_{2}\, ，其點斜式為 y-b=m_{2}(x-a)=\frac{s}{r}(x-a)
    4. 將 L_{2}\, 整理為標準式，得 L_{2}:sx-ry-sa+rb=0\,
  2. 求解兩直線之交點 Q\left( c,d \right)\, 之點座標方程式
    1. 因點 Q\left( c,d \right)\, 在兩直線之交點上，故將 c,d\, 代入 \left\{ \begin{matrix} L_{1}:rx+sy+t=0 \\ L_{2}:sx-ry-sa+rb=0 \\ \end{matrix} \right. 可得 \left\{ \begin{align} & L_{1}Q:rc+sd+t=0 \\ & L_{2}Q:sc-rd-sa+rb=0 \\ \end{align} \right.
    2. 將 L_{1}Q\, 及 L_{2}Q\, 兩式分別乘以 r\, 和 s\, 得 \left\{ \begin{align} & L_{1}Q\times r:r^{2}c+rsd+rt=0 \\ & L_{2}Q\times s:s^{2}c-rsd-s^{2}a+rsb=0 \\ \end{align} \right.
    3. 兩式相加，求 c\,之解，得 \left( r^{2}+s^{2} \right)c-s^{2}a+rsb+rt=0 ，亦即 c=\frac{s^{2}a-rsb-rt}{r^{2}+s^{2}}
    4. 反之將 L_{1}Q\, 及 L_{2}Q\, 兩式分別乘以 s\, 和 r\, 得 \left\{ \begin{align} & L_{1}Q\times s:rsc+s^{2}d+st=0 \\ & L_{2}Q\times r:rsc-r^{2}d-rsa+r^{2}b \\ \end{align} \right.
    5. 兩式相減，求 d\,之解，得 \left( r^{2}+s^{2} \right)d-r^{2}b+rsa+st=0 ，亦即 d=\frac{r^{2}b-rsa-st}{r^{2}+s^{2}}
  3. 再求 點 P\left( a,b \right)\, 與 點 Q\left( c,d \right)\, 之距離方程式 h\,
    1. h=\sqrt{\left( a-c \right)^{2}+\left( b-d \right)^{2}}
    2. a-c=a-\frac{s^{2}a-rsb-rt}{r^{2}+s^{2}}=\frac{r^{2}a+s^{2}a-s^{2}a+rsb+rt}{r^{2}+s^{2}}=\frac{r\left( ra+sb+t \right)}{r^{2}+s^{2}}
    3. b-d=b-\frac{r^{2}b-rsa-st}{r^{2}+s^{2}}=\frac{r^{2}b+s^{2}b-r^{2}b+rsa+st}{r^{2}+s^{2}}=\frac{s(ra+sb+t)}{r^{2}+s^{2}}
    4. \left( a-c \right)^{2}=\frac{r^{2}\left( ra+sb+t \right)^{2}}{\left( r^{2}+s^{2} \right)^{2}}
    5. \left( b-d \right)^{2}=\frac{s^{2}(ra+sb+t)^{2}}{\left( r^{2}+s^{2} \right)^{2}}
    6. \left( a-c \right)^{2}+\left( b-d \right)^{2}=\frac{r^{2}\left( ra+sb+t \right)^{2}}{\left( r^{2}+s^{2} \right)^{2}}+\frac{s^{2}(ra+sb+t)^{2}}{\left( r^{2}+s^{2} \right)^{2}}=\frac{(ra+sb+t)^{2}}{r^{2}+s^{2}}
    7. h=\sqrt{\frac{(ra+sb+t)^{2}}{r^{2}+s^{2}}}=\frac{\left| ra+sb+t \right|}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}


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