ACosA=bCosB

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目錄

屬性

  • 資源類別：題目
  • 科目：數學
  • 主題：三角函數
  • 次主題：方程式
  • 摘要：aCosA=bCosB 之三角形特性
  • 適用年級：10-12
  • 日期：2008/09/17
  • 編輯者：User:YuLM
  • 參考資料：
  • 相關技術：
  • 題目狀態：

已知

  • \Delta ABC\, 中， a\cos A=b\cos B\,

求解

  • \Delta ABC\, 之特性

答案

  • \Delta ABC\, 為等腰三角形，且\angle A=\angle B，或
  • \Delta ABC\, 為直角三角形，且\angle A\, 與 \angle B\, 互餘

詳解

三角函數解

1 等腰三角形

  • 已知：在\Delta ABC\, 中，a\cos A=b\cos B\Rightarrow a=b\frac{\cos B}{\cos A}
  1. 當\frac{\cos B}{\cos A}=1,a=b\Rightarrow a\cos A=b\cos B\#
  2. 即\angle A=\angle B\And a=b
  3. 得知\Delta ABC\, 為等腰三角形

2 直角三角形

  • 已知：在\Delta ABC\, 中，a\cos A=b\cos B\Rightarrow a=b\frac{\cos B}{\cos A}
  1. 當\angle A+\angle B=90^{\circ } (互為餘角)時，
  2. \frac{\cos B}{\cos A}=\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A=\frac{a}{b}
  3. a=b\frac{\cos B}{\cos A}=b\times \tan A=b\times \frac{a}{b}=a
  4. \Rightarrow a\cos A=b\cos B\#
  5. 得知\Delta ABC\, 為直角三角形

3 是否有其它狀況?

  • 利用代數討論

(代數討論)

  • 已知：在\Delta ABC\, 中，a\cos A=b\cos B\,
    1. 畫 \overline{CD}\bot \overline{AB}
    2. e=b\cos A\Rightarrow \cos A=\frac{e}{b}\Rightarrow a\cos A=\frac{ae}{b}
    3. c-e=a\cos B\Rightarrow \cos B=\frac{c-e}{a}\Rightarrow b\cos B=\frac{b\left( c-e \right)}{a}
    4. 由題目已知：a\cos A=b\cos B\,
    5. \Rightarrow \frac{ae}{b}=\frac{b\left( c-e \right)}{a}\Rightarrow a^{2}e=b^{2}\left( c-e \right)=b^{2}c-b^{2}e
    6. \Rightarrow e=\frac{b^{2}c}{a^{2}+b^{2}}
    7. \therefore \cos A=\frac{e}{b}=\frac{\frac{b^{2}c}{a^{2}+b^{2}}}{b}=\frac{bc}{a^{2}+b^{2}}
    8. 又 \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} 註：餘弦定理
    9. \Rightarrow \frac{bc}{a^{2}+b^{2}}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}
    10. \Rightarrow a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}-a^{4}+b^{4}+b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}=2b^{2}c^{2}
    11. \Rightarrow a^{4}-b^{4}-a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}=0
    12. \Rightarrow \left( a^{2}-b^{2} \right)\left( a^{2}+b^{2} \right)-c^{2}\left( a^{2}-b^{2} \right)=0
    13. \Rightarrow \left( a^{2}-b^{2} \right)\left[ \left( a^{2}+b^{2} \right)-c^{2} \right]=0
    14. \therefore a^{2}-b^{2}=0 ，或 a^{2}+b^{2}-c^{2}=0\,
      1. 當a^{2}-b^{2}=0\, 時，
        • \Rightarrow a^{2}=b^{2}\Rightarrow a=b\#
        • 得知：\Delta ABC\, 為等腰三角形，且\angle A=\angle B
      2. 當a^{2}+b^{2}-c^{2}=0\, 時，
        • \Rightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2}\#
        • 得知：\Delta ABC\, 為直角三角形，且\angle A\, 與 \angle B\, 互餘
    15. \therefore\Delta ABC\, 為 等腰三角形 或 直角三角形

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主題 三角函數  +
摘要 aCosA=bCosB 之三角形特性  +
日期 2008年9月17日 (星期三)  +
次主題 方程式  +
科目 數學  +
編輯者 YuLM  +
資源類別 題目  +
適用年級 10-12  +
取自"http://www.come2pass.com/wiki/index.php/ACosA%3DbCosB"